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Temas de geometria

 

Curvas notáveis

Cissoide de Diocles pág.

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 Em primeiro lugar devemos esclarecer o que significa o problema da duplicação do cubo por métodos geométricos. Trata-se de um dos três problemas geométricos gregos impossíveis de resolver pela geometria de Euclides, com régua e compasso: dado um cubo de aresta a, cons-truir um segmento b tal que o cubo de aresta b tenha por volume o dobro do volume de aresta a, ou seja, tal que b3 = 2 a3. Fig.2
 Resolver este problema por meio da cissoide significa portanto usar a curva —neste caso, também a sua equação — para que, dado um segmento a, determinar um segmento b tal que esta igualdade se verifique. No livro de Gomes Teixeira, o autor constrói uma cissoide como a da fig. 3, em que o raio da circunferência é 2a. E escolhe um ponto M tal que PA intersecte o raio vertical da circunferência no seu ponto médio. Seja K o ponto em que a vertical passando por C intersecta OM, e seja d a medida do segmento KC. 
 Por meio da equação da cissóide, Gomes Teixeira prova que, se b for o meio proporcional entre a e d, então b2 = 2 a3. O que significa que dado o cubo de aresta a, por meio desta curva, conseguirá determinar a aresta b de um cubo com o dobro do volume.
Fig. 3

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